\documentstyle{article}

\topmargin=-10mm
\oddsidemargin=-5mm
\evensidemargin=-5mm
\textwidth 16cm
\textheight 23cm
\hfuzz=1.5pt
\makeindex

\font\msbm=msbm10 scaled 1200
\font\wr=jwr8 scaled 1200
\font\wit=jwti8 scaled 1200

\def\al {\alpha}
\def\be {\beta}
\def\br {\hbox{\msbm R}}
\def\de {\delta}
\def\e  {\eta}
\def\ga {\gamma}
\def\f  {\frac}
\def\la {\lambda}
\def\liml{\lim\limits}
\def\om {\omega}
\def\sg {\sigma}
\def\t  {\tau}
\def\ve {\varepsilon}


%\English

\begin{document}
\pagestyle{plain}
\large

\begin{center} {\bf
О СТАБИЛИЗАЦИОННОЙ ПРОБЛЕМЕ БРОКЕТТА
}
\end{center}

\centerline{\it Г.А.Леонов}

\medskip

\centerline{Dept. of Mathematics and Mechanics}
\centerline{St.Petersburg State University}
\centerline{2, Bibliotechnaya pl., Peterhof}
\centerline{St.Petersburg 198504, Russia}
\centerline{leonov@math.spbu.ru}

\bigskip

\bigskip

\centerline{Аннотация:}


\bigskip

В книге ``Open problems in
mathematical systems and control theory" (Springer 1999)
Р.Брокетт поставил следующую проблему.

Дана тройка матриц $A,B,C$. При каких условиях существует
зависимая от времени матрица $K(t)$ такая, что система
$$
\f{dx}{dt}=Ax+BK(t)Cx,\quad x\in\br^n
\eqno(1)
$$
асимптотически устойчива?

В ряде случаев ответ на этот вопрос дают следующие результаты.

\medskip

{\bf Теорема 1.} {\it
Пусть существуют матрицы $K_1$ и $K_2$ такие, что выполнены
следующие условия:

$1)$ матрица $BK_1C$ имеет $n-1$ собственное значение с
отрицательными вещественными частями и $\det BK_1C=0$,

$2)$ для вектора $u\neq0$, удовлетворяющего равенству
$BK_1Cu=0$, и для некоторого числа $\la$ вектор-функция
$$
\exp\big[(A+BK_2C+\la I)t\big]u
$$
периодична.

Тогда существует периодическая матрица $K(t)$ такая, что система
$(1)$ асим\-п\-то\-ти\-чес\-ки устойчива.
}

\medskip

{\bf Теорема 2.} {\it
Пусть $n=2$ и существуют матрицы $K_1$ и $K_2$ такие, что
выполнены следующие условия

$1)$ $\det BK_1C=0$, $\ \hbox{\rm Tr}\,BK_1C\neq0$,

$2)$ матрица $A+BK_2C$ имеет комплексные значения.

Тогда существует периодическая функция $K(t)$ такая, что система
$(1)$ асим\-п\-то\-ти\-чес\-ки устойчива.
}

\medskip

{\bf Следствие.}
Пусть $n=2$, $B$ и $C$ --- векторы, $K(t)$ --- функция:
$\br^1\to\br^1$, передаточная функция имеет вид
$$
W(p)=C(A-pI)^{-1}B=\f{p+\ga}{p^2+\al p+\beta}\,,
$$
где $\ga\leq0$, $\al\ga>\beta$.

Если
$$
\ga^2-\al\ga+\beta>0
$$
то существует периодическая функция $K(t)$ такая, что система
$(1)$ асимптотически устойчива.

Если
$$
\ga^2-\al\ga+\beta<0
$$
то не существует функций $K(t)$ таких, что система
$(1)$ асимптотически устойчива.

{\bf Теорема 3.} {\it
Пусть $n=3$, $B$ и $C$ --- векторы, $K(t)$ --- функция:
$\br^1\to\br^1$, $\ CB\neq0$ и существуют числа $K_1,K_2$ такие, что
выполнены следующие условия:

$1)$ матрица $A+K_1BC$ имеет комплексные собственные значения и
одно отрицательное собственное значение,

$2)$ функция
$$
C\exp[(A+K_2BC)t]B
$$
имеет по крайней мере один нуль на интервале $(-\infty,0)$.

Тогда существует периодическая функция $K(t)$ такая, что система
$(1)$ асим\-п\-то\-ти\-чес\-ки устойчива.
}

\end{document}

